Đề giao lưu học sinh giỏi cấp THCS môn Toán - Phòng GD&ĐT Vĩnh Bảo (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp THCS môn Toán - Phòng GD&ĐT Vĩnh Bảo (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN VĨNH BẢO GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 8 (Đề có 1 trang) Điểm Bài 1 Lời giải sơ lược chi Cộng tiết Bài 1 a) a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) = a2 (b c) b2 (a c) c2 (a b) 0,25 ( 3 = a2 (b c) b2 (a b) (b c) c2 (a b) điểm) 0,25 = (a2 b2 )(b c) (c2 b2 )(a b) = (a b)(a b(b c) (b c)(b c)(a b) 1,0 = (a b)(b c)(a b b c)= (a b)(b c)(a c) 0,25 0,25 b) (a+b+c)2= a 2 b 2 c 2 ab ac bc 0 a2 a2 a2 0,25 a2 2bc a2 ab ac bc (a b)(a c) b2 b2 c2 c2 Tương tự: ; 0,25 b2 2ac (b a)(b c) c2 2ac (c a)c b) a2 b2 c2 1,0 P a2 2bc b2 2ac c2 2ab a2 b2 c2 0,25 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c)(b c) (a b)(a c)(b c) 1 0,25 (a b)(a c)(b c) c) Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z (x + y)3 = –z3 0,25 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 Do đó : 3xyz(x + y + z ) = (x + y + z )(x + y + z ) 0,25 = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 2 2 2 2 Mà x + y = (x + y) – 2xy = z – 2xy (vì x + y = –z). 1,0 Tương tự:y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. 2 2 2 Vì vậy : 3xyz(x + y + z ) 0,25 = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 0,25 Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2 Bài 3 a) Để n 18 và n 41 là hai số chính phương n 18 p2 và n 41 q2 p,q N 0,25 p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 0,25 1,0 p q 1 p 30 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 59 q 29 0,25
2. Bài 4 (3 điểm) A B' N C' H M B A' D C a)Chứng minh BHC'đồng dạng với BAB ' BH BC ' 0,25 => => BH.BB' BC'.BA (1) AB BB ' Chứng minh BHA'đồng dạng với BCB' BH BA' 0,25 => BH.BB' BC.BA' (2) 1,0 BC BB ' Từ (1) và (2) => BC'.BA BA'.BC 0,25 Tương tựCB'.CA CA'.BC => BC '.BA CB'.CA BA'.BC CA'.BC (BA' CA').BC BC 2 0,25 BH BC ' BH.CH BC '.CH S b) Có => BHC AB BB ' AB.AC BB '.AC S ABC 0,25 AH.BH S AH.CH S Tương tự AHB và AHC CB.CA S CB.AB S ABC ABC 1,0 0,25 HB.HC HA.HB HC.HA S => ABC 1 0,5 AB.AC AC.BC BC.AB SABC c) Chứng minh được AHM đồng dạng với CDH (g-g) HM AH 0,25 => (3) HD CD Chứng minh được AHN đồng dạng với BDH (g-g) 0,25 AH HN => (4) 1,0 BD HD Mà CD=BD (gt) (5) HM HN Từ (3), (4), (5) => => HM=HN 0,25 HD HD =>H là trung điểm của MN 0,25