Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1 đến Chuyên đề 15 - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1 đến Chuyên đề 15 - Năm học 2017-2018

1. Giáo án Bồi dưỡng HSG môn Toán 8 Năm học: 2017 - 2018 Cho töù giaùc ABCD coù M laø trung ñieåm CD, N laø trung A D G ñieåm CB. Bieát AM, AN caét BD thaønh ba ñoaïn baèng nhau. F Chöùng minh raèng ABCD laø hình bình haønh M Giaûi E B Goïi E, F laø giao ñieåm cuûa AM, AN vôùi BD; G, H laø giao N C ñieåm cuûa MN vôùi AD, BD MN // BC (MN laø ñöôøng trung bình cuûa BCD) H Töù giaùc HBFM laø hình thang coù hai caïnh beân ñoøng quy taïi A, N laø trung ñieåm cuûa ñaùy BF neân theo boå ñeà hình thang thì N laø trung ñieåm cuûa ñaùy MH MN = NH (1) Töông töï : trong hình thang CDEN thì M laø trung ñieåm cuûa GN GM = MN (2) Töø (1) vaø (2) suy ra GM = MN = NH Ta coù BNH = CNM (c.g.c) B· HN = C· MN BH // CM hay AB // CD (a) Töông töï: GDM = NCM (c.g.c) D· GM = C· NM GD // CN hay AD // CB (b) Töø (a) vaø (b) suy ra töù giaùc ABCD coù caùc caëp caïnh ñoái A song song neân laø hình bình haønh P N 2) Baøi 2: H Cho ABC coù ba goùc nhoïn, tröïc taâm H, moät ñöôøng Q K thaúng qua H caét AB, AC thöù töï taï P, Q sao cho HP = HQ. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh: HM  PQ B M I C Giaûi Goïi giao ñieåm cuûa AH vaø BC laø I Töø C keû CN // PQ (N AB), ta chöùng minh MH  CN HM  PQ Töù giaùc CNPQ laø hình thang, coù H laø trung ñieåm PQ, hai caïnh beân NP vaø CQ ñoàng quy taïi A neân K laø trung ñieåm CN MK laø ñöôøng trung bình cuûa BCN MK // CN MK // AB (1) H laø tröïc taâm cuûa ABC neân CH  A B (2) Töø (1) vaø (2) suy ra MK  CH MK laø ñöôøng cao cuûa CHK (3) Töø AH  BC MC  HK MI laø ñöôøng cao cuûa CHK (4) Töø (3) vaø (4) suy ra M laø tröïc taâm cuûa CHK MH B A  CN MH  PQ K 3) baøi 3: N // // M Cho hình chöõ nhaät ABCD coù M, N thöù töï laø trung I ñieåm cuûa AD, BC. Goïi E laø moät ñieåm baát kyø thuoäc tia ñoái cuûa tia DC, K laø giao ñieåm cuûa EM vaø AC. Chöùng minh raèng: NM laø tia phaân giaùc cuûa K· NE H C D E Trang 50
2. Giáo án Bồi dưỡng HSG môn Toán 8 Năm học: 2017 - 2018 Ngày soạn: Ngày dạy: CHUYEÂN ÑEÀ 14 – SÖÛ DUÏNG COÂNG THÖÙC DIEÄN TÍCH ÑEÅ THIEÁT LAÄP QUAN HEÄ ÑOÄ DAØI CUÛA CAÙC ÑOAÏN THAÚNG A. Moät soá kieán thöùc: 1. Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc: 1 S = a.h (a – ñoä daøi moät caïnh, h – ñoä daøi ñöôøng cao töông öùng) 2 2. Moät soá tính chaát: Hai tam giaùc coù chung moät caïnh, coù cuøng ñoä daøi ñöôøng cao thì coù cuøng dieän tích Hai tam giaùc baèng nhau thì coù cuøng dieän tích B. Moät soá baøi toaùn: 1. Baøi 1: CI + BK Cho ABC coù AC = 6cm; AB = 4 cm; caùc ñöôøng cao AH; BK; CI. Bieát AH = 2 Tính BC Giaûi A 2S 2S Ta coù: BK = ABC ; CI = ABC AC AB K 1 1 I BK + CI = 2. SABC AC AB 1 1 1 1 1 2AH = 2. . BC. AH . BC. = 2 2 AC AB AC AB B H C 1 1 1 1 BC = 2 : = 2 : = 4,8 cm AC AB 6 4 Baøi 2: Cho ABC coù ñoä daøi caùc caïnh laø a, b, c; ñoä daøi caùc ñöôøng cao töông öùng laø ha, hb, hc. Bieát raèng a + ha = b + hb = c + hc . Chöùng minh raèng ABC laø tam giaùc ñeàu Giaûi Goïi SABC = S 2S 2S 1 1 a - b Ta xeùt a + ha = b + hb a – b = ha – hb = - 2S. - 2S. b a b a ab a - b 2S a – b = 2S. (a – b) 1 - = 0 ABC caân ôû C hoaëc vuoâng ôû C (1) ab ab Töông töï ta coù: ABC caân ôû A hoaëc vuoâng ôû A (2); ABC caân ôû B hoaëc vuoâng ôû B (3) Töø (1), (2) vaø (3) suy ra ABC caân hoaëc vuoâng ôû ba ñænh (Khoâng xaåy ra vuoâng taïi ba Trang 52
3. Giáo án Bồi dưỡng HSG môn Toán 8 Năm học: 2017 - 2018 trí trong tam giaùc ABC thì: a) A’D + B’E + C’F khoâng ñoåi A b) AA’ + BB’ + CC’ khoâng ñoåi Giaûi Goïi h = AH laø chieàu cao cuûa tam giaùc ABC thì h khoâng ñoåi E F Goïi khoaûng caùch töø M ñeán caùc caïnh AB; BC; CA laø MP; C' R P MQ; MR thì A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP B' Vì M naèm trong tam giaùc ABC neân S + S + S = A' BMC CMA BMA M SABC B Q D C BC.(MQ + MR + MP) = BC.AH MQ + MR + MP = AH A’D + B’E + C’F = AH = h Vaäy: A’D + B’E + C’F = AH = h khoâng ñoåi b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F) = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h khoâng ñoåi Baøi 5: Cho tam giaùc ABC coù BC baèng trung bình coäng cuûa AC vaø AB; Goïi I laø giao ñieåm cuûa caùc phaân giaùc, G laø troïng taâm A cuûa tam giaùc. Chöùng minh: IG // BC Giaûi I G Goïi khoaûng caùch töø a, I, G ñeán BC laàn löôït laø AH, IK, GD Vì I laø giap ñieåm cuûa ba ñöôøng phaân giaùc neân khoaûng caùch töø I ñeán ba caïnh AB, BC, CA baèng nhau vaø baèng IK B H K D M C Vì I naèm trong tam giaùc ABC neân: SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1) AB + CA Maø BC = AB + CA = 2 BC (2) 2 1 Thay (2) vaøo (1) ta coù: BC. AH = IK. 3BC IK = AH (a) 3 Vì G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC neân: 1 1 1 SBGC = SABC BC . GD = BC. AH GD = AH (b) 3 3 3 Töø (a) vaø (b) suy ra IK = GD hay khoaûng caùch töø I, G ñeán BC baèng nhau neân IG // BC Baøi taäp veà nhaø: 1) Cho C laø ñieåm thuoäc tia phaân giaùc cuûa x· Oy = 600 , M laø ñieåm baát kyø naèm treân ñöôøng vuoâng goùc vôùi OC taïi C vaø thuoäc mieàn trong cuûa x· Oy , goïi MA, MB thöù töï laø khoaûng caùch töø M ñeán Ox, Oy. Tính ñoä daøi OC theo MA, MB 2) Cho M laø ñieåm naèm trong tam giaùc ñeàu ABC. A’, B’, C’ laø hình chieáu cuûa M treân caùc caïnh BC, AC, AB. Caùc ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BC taïi C, vuoâng goùc vôùi CA Trang 54
4. Giáo án Bồi dưỡng HSG môn Toán 8 Năm học: 2017 - 2018 b2 b Ñaët c - = k. Do (x + )2 0 neân: 4a 2a b b a) Neáu a > 0 thì a(x + )2 0 do ñoù P k min P = k x = - 2a 2a b b b) Neáu a < 0 thì a(x + )2 0 do ñoù P k max P = k x = - 2a 2a II. Daïng 2: Ña thöùc coù daáu giaù trò tuyeät ñoái 1) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a) A = (3x – 1)2 – 4 3x - 1 + 5 ñaët 3x - 1 = y thì A = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 1 x = 1 3x - 1 = 2 min A = 1 y = 2 3x - 1 = 2 1 3x - 1 = - 2 x = - 3 b) B = x - 2 + x - 3 B = x - 2 + x - 3 = B = x - 2 + 3 - x x - 2 + 3 - x = 1 min B = 1 (x – 2)(3 – x) 0 2 x 3 2) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa C = x2 - x + 1 x2 - x - 2 Ta coù C = x2 - x + 1 x2 - x - 2 = x2 - x + 1 2 + x - x2 x2 - x + 1 + 2 + x - x2 = 3 min C = 3 (x2 – x + 1)(2 + x – x2) 0 2 + x – x2 0 x2 – x – 2 0 (x + 1)(x – 2) 0 - 1 x 2 3) Ví duï 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1) Vµ x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x = 1 (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1 + 3 = 4 Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y ra khi 1 x 4 (2) DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3 III.Daïng 3: Ña thöùc baäc cao 1) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Ñaët x2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 - 36 Min A = - 36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 (x – 1)(x – 6) = 0 x = 1 hoaëc x = 6 b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + 2 x - y = 0 = (x – y)2 + (x – 1)2 + 2 2 x = y = 1 x - 1 = 0 c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta coù C + 3 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1). Ñaët x – 1 = a; y – 1 = b thì Trang 56
5. Giáo án Bồi dưỡng HSG môn Toán 8 Năm học: 2017 - 2018 x2 + y2 c) Ví duï 3: Tìm GTNN cuûa C = x2 + 2xy + y2 1 2 2 2 2 (x + y) (x - y) 2 x + y 1 1 (x - y) 1 1 Ta coù: C = 2 . min A = x = y x2 + 2xy + y2 (x + y)2 2 2 (x + y)2 2 2 3. Caùc phaân thöùc coù daïng khaùc 3 - 4x a)Ví duï : Tìm GTNN, GTLN (Cöïc trò) cuûa A = x2 1 3 - 4x (4x2 4x 4) (x2 1) (x - 2)2 Ta coù: A = 1 1 min A = - 1 x = 2 x2 1 x2 1 x2 1 3 - 4x (4x2 4) (4x2 + 4x + 1) (2x 1)2 Ta laïi coù: A = 4 4 max A = 4 x = x2 1 x2 1 x2 1 1 2 C. Tìm GTNN, GTLN cuûa moät bieåu thöùc bieát quan heä giöõa caùc bieán 1) Ví duï 1: Cho x + y = 1. Tìm GTNN cuûa A = x3 + y3 + xy Ta coù A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Caùch 1: Bieåu thò aån naøy qua aån kia, roài ñöa veà moät tam thöùc baäc hai Töø x + y = 1 x = 1 – y 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 neân A = (1 – y) + y = 2(y – y) + 1 = 2(y – 2.y. + ) + = 2 y - + 2 4 2 2 2 2 1 1 Vaäy min A = x = y = 2 2 b) Caùch 2: Söû duïng ñk ñaõ cho, laøm xuaát hieän moät bieåu thöùc môùi coù chöùa A Töø x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1(1). Maët khaùc (x – y)2 0 x2 – 2xy + y2 0 (2) Coäng (1) vôùi (2) veá theo veá, ta coù: 1 1 1 2(x2 + y2) 1 x2 + y2 min A = x = y = 2 2 2 2)Ví duï 2: Cho x + y + z = 3 a) Tìm GTNN cuûa A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN cuûa B = xy + yz + xz Töø Cho x + y + z = 3 Cho (x + y + z)2 = 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1) 1 Ta coù x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) 2 1 = (x y)2 (x z)2 (y z)2 0 x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx (2) 2 Ñaúng thöùc xaåy ra khi x = y = z a) Töø (1) vaø (2) suy ra 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 3 min A = 3 x = y = z = 1 b) Töø (1) vaø (2) suy ra Trang 58
6. Giáo án Bồi dưỡng HSG môn Toán 8 Năm học: 2017 - 2018 1 min A = x = 1 2 3) Nhieàu khi ta tìm cöïc trò cuûa bieåu thöùc trong caùc khoaûng cuûa bieán, sau ñoù so saùmh caùc cöïc trò ñoù ñeå ñeå tìm GTNN, GTLN trong toaøn boä taäp xaùc ñònh cuûa bieán y Ví duï: Tìm GTLN cuûa B = 5 - (x + y) a) xeùt x + y 4 - Neáu x = 0 thì A = 0 - Neáu 1 y 3 thì A 3 - Neáu y = 4 thì x = 0 vaø A = 4 b) xeùt x + y 6 thì A 0 So saùnh caùc giaù trò treân cuûa A, ta thaáy max A = 4 x = 0; y = 4 4) Söû duïng caùc haèng baát ñaúng thöùc Ví duï: Tìm GTLN cuûa A = 2x + 3y bieát x2 + y2 = 52 Aùp duïng Bñt Bunhiacoápxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho caùc soá 2, x , 3, y ta coù: (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 2x + 3y 26 2 x y 3x 2 2 2 3x 2 Max A = 26 = y = x + y = x + = 52 13x = 52.4 x = 2 3 2 2 4 Vaäy: Ma x A = 26 x = 4; y = 6 hoaëc x = - 4; y = - 6 5) Hai soá coù toång khoâng ñoåi thì tích cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau Hai soá coù tích khoâng ñoåi thì toång cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau a)Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khoâng ñoåi neân tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lôùn nhaát khi vaø chæ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = 0 x = 5 hoaëc x = - 2 Khi ñoù A = 11. 11 = 121 Max A = 121 x = 5 hoaëc x = - 2 (x + 4)(x + 9) b) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa B = x (x + 4)(x + 9) x2 13x + 36 36 Ta coù: B = x + 13 x x x 36 36 36 36 Vì caùc soá x vaø coù tích x. = 36 khoâng ñoåi neân x + nhoû nhaát x = x x x x x = 6 36 A = x + 13 nhoû nhaát laø min A = 25 x = 6 x 6)Trong khi tìm cöïc trò chæ caàn chæ ra raèng toàn taïi moät giaù trò cuûa bieán ñeå xaåy ra ñaúng thöùc chöù khoâng caàn chæ ra moïi giaù trò ñeå xaåy ra ñaúng thöùc Trang 60