Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7

1. Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước. Cách dựng: Gọi góc xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn(O;r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được OAB. - Dựng O’A’B’ = OAB(c.c.c) như bài toán 1, ta được: O¶ / Oµ ' x x A A' O B y O' y' B' Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước. Cách dựng: - Dựng đường tròn (A;r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C. - Dựng các đường tròn (B;r) và (C;r) chúng cắt nhau ở D. Tia AD là tia phân giác của góc xAy. · · Thật vậy: ABD = ACD (c.c.c) BAD CAD x B r r D z 1 A 2 r r C y Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước. Cách dựng: - Dựng hai đường tròn (A;AB) và (B;BA) chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB. 2
2. B. Một số phương pháp vẽ yếu tố phụ Sau đây là một số cách đơn giản nhất, thông dụng để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học 7 được minh họa Học sinh thảo luận nhóm để tìm ra cách chứng minh một bài toán hình học * Cách 1: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng , vẽ tia phân giác của một góc. Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC (H BC), DH = 4cm. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A. 1). Phân tích bài toán: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, D là trung điểm của cạnh AB.Vẽ DH vuông góc với BC (H BC) và DH = 4cm. Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A. 2). Hướng suy nghĩ: ABC cân tại A AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của BC. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC. 3) Chứng minh: A GT ABC ; AB =10cm; BC = 12cm; 1 DA = DB = AB; DH  BC D 2 DH = 4 cm KL ABC cân tại A C B H K 4
3. Vẽ tia phân giác của góc BAC là AI (I thuộc BC) 1 Suy ra : µA ¶A B· AC . Mà : Bµ Cµ (gt) 1 2 2 µ µ Suy ra: I1 I2 Xét ΔABI và ΔACI có: µ µ I1 I2 (cmt) Cạnh AI chung µ ¶ A1 A2 (cmt) Suy ra: ΔABI = ΔACI (g.c.g) Suy ra: AB = AC (2 cạnh tương ứng) 4) Nhận xét : Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau. * Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước. Cô trò cùng nhau thảo luận về phương pháp chứng minh hình. Bài toán 3: Chứng minh định lý: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền (Bài 25 / 67 - SGK toán 7 tập 2). 1) Phân tích bài toán: 6
4. đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác. Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh B· AM và M· AC (Bài 7/24 SBT toán 7 tập 2) 1) Phân tích bài toán: Bài cho: Tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Yêu cầu : So sánh B· AM và M· AC 2). Hướng suy nghĩ: Hai góc B· AM và M· AC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc B· AM và M· AC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này. 3) Chứng minh. A 1 2 ABC; AB < AC GT M là trung điểm của BC 1 KL · · 2 C So sánh BAM và MAC B M D Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD =MA. Xét MAB và MDC có; MA = MD ( theo cách dựng) ¶ ¶ M1 M 2 (đối đỉnh) MB = MC (gt) Xét MAB = MDC (c.g.c) AB = CD ( 2cạnh tương ứng) µ µ và A1 D (hai góc tương ứng) Ta có AB = CD mà AB < AC (gt) CD < AC. Xét ACD có: CD < AC ¶ µ A2  D (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) µ µ Mà A1 D (theo chứng minh trên) ¶ µ · · A2 A1 hay BAM MAC 8
5. Vậy ΔABD = ΔDCA (g.c.g) AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng ) 4) Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh ΔABD = ΔDCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau (cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc, cạnh, góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song. * Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau.Chứng minh rằng: ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác đều. 1) Phân tích bài toán: Bài cho ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác đều. 2) Hướng suy nghĩ: Muốn chứng minh ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy ra AB  AC và suy ra Aµ 900 3) Chứng minh: A ΔABC; 3 1 2 AH  BC I GT trung tuyến AM µ ¶ µ A1 A2 A3 1 2 ΔABC vuông B H M KL ΔABM đều C Vẽ MI AC ( I AC) Xét ΔMAI và ΔMAH có: ·AHM ·AIM 900 AM là cạnh chung ¶ µ A2 A3 (gt) Vậy ΔMAI = ΔMAH (cạnh huyền, góc nhọn) 10
6. A ABC; AB < AC; 1 GT MB = MC = BC, AH  DE 2 AH là tia phân giác E KL BD = CE B M C H F D Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE tại F. Xét ΔMBF và ΔMCE có: M· BF M· CE (so le trong do BF // CE) MB = MC (gt) B· MF C· ME (đối đỉnh) Vậy ΔMBF = ΔMCE (g.c.g) BF = CE (2 cạnh tương ứng) Mặt khác ADE có AH  DE và AH cũng là tia phân giác của D· AE (gt) Do đó: ΔADE cân tại A B· DF ·AED Mà BF // CE (theo cách vẽ) B· FD ·AED Do đó B· DF B· FD ΔBDF cân tại B BF = BD Từ đó suy ra: BD = CE 4) Nhận xét: Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS. Năm cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp “Tam giác bằng nhau”, và nhiều khi cũng cần sử dụng một phương pháp nữa trong giải toán đó là “Phương pháp tam giác đều” * Cách 6: Phương pháp “Tam giác đều” Đây là phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Ta xét một bài toán điển hình: Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, B· AC 200 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD 1 =BC. Chứng minh rằng: D· CA B· AC 2 1) Phân tích bài toán: 12
7. 4) Nhận xét: 1. Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác đều bằng nhau dễ dàng. 2. Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác: - Vẽ tam giác đều ABM (M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). - Vẽ tam giác đều ACM (M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC). - Vẽ tam giác đều ABM (M và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ax). Ngoài ra còn có những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn đến điều phải chứng minh, còn cách khác còn tùy thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình Học. Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, Cµ 150 .Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC . Chứng minh: OBC cân. 1). Phân tích bài toán: Bài toán cho tam giác ABC vuông tại A, Cµ 150 .Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC. Yêu cầu chứng minh: OBC cân. 2) Hướng suy nghĩ: Ta thấy Cµ 150 , có 750 150 600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều. Do đó sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán. 3) Chứng minh: O ABC; µA 900 ; Cµ 150 GT O thuộc tia BA; BO = 2AC H M KL ΔOBC cân tại O. A B C Ta có: ΔABC; µA 900 ;Cµ 150 (gt) Bµ 750 Vẽ tam giác đều BCM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC) Ta có: O· BM 150 Gọi H là trung điểm của OB thì ΔHMB = ΔABC (c.g.c) 14