Chuyên đề Toán Lớp 6 - Số nguyên tố. Hợp số. Số chính phương

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 6 - Số nguyên tố. Hợp số. Số chính phương

1. c) a2 + 31a + 1984 Bài 3: Tìm số tự nhiên n 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + + n! là một số chính phương. Bài 4: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương. Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương. Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương c) Dạng 4: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B. Bài 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị. Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương. Bài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương. Bài 6: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ
2. Gọi a, b, c, d là các số nguyên tố. (a>b) − = Theo bài ra ta có:{ (*) => c + b = d - b + = Từ (*) => a > 2, a là số nguyên tố lẻ => c + b và d – b là số lẻ. Do b, c, d đều là số nguyên tố nên để c + b và d – b là số lẻ thì => b chẵn. Vậy b = 2 a. Bài toán đưa về dạng tìm một số nguyên tố a sao cho a – 2 và a + 2 cũng là số nguyên tố. . Nếu a = 5 => a – 2 = 3; a + 2 = 7 đều là số nguyên tố . Nếu a ≠ 5 . Xét 2 trường hợp + a chia 3 dư 1 => a + 2 chia hết cho 3 : không là số nguyên tố + a chia 3 dư 2 => a – 2 chia hết cho 3: không là số nguyên tố Vậy chỉ có số nguyên tố a duy nhất thoả mãn là 5. Hai số nguyên tố cần tìm là 5; 2 Bài 6: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên. HƯỚNG DẪN: Gọi số tự nhiên đó là a. Ta có 103 = 1000; 53 = 125 => 125 ≤ a 3 5 ≤ a <10 Ta có bảng sau: a 5 6 7 8 9 a3 125 216 343 512 729 Số cần tìm 521 612 343 215 927 Kết luận TM loại loại loại loại Vậy số cần tìm là 521 Bài 7: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp.
3. a. p + 2 và p + 10 . Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 10 = 12 đều không phải là số nguyên tố. . Nếu p ≥ 3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k ∈ N* + Nếu p = 3k => p = 3; p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số nguyên tố. + Nếu p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3: không là số nguyên tố. + Nếu p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố Vậy p = 3 b. p + 10 và p + 14 Nếu p = 2 thì p + 10 = 12 và p + 14 = 16 đều không phải là số nguyên tố. Nếu p ≥ 3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k ∈ N* + Nếu p = 3k => p = 3; p + 10 = 13; p + 14= 17 đều là số nguyên tố. + Nếu p = 3k + 1 => p + 14 = 3k + 15 chia hết cho 3: không là số nguyên tố. + Nếu p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố Vậy p = 3 c. p + 10 và p + 20 Nếu p = 2 thì p + 2 = 12 và p + 10 = 22 đều không phải là số nguyên tố. Nếu p ≥ 3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k ∈ N*
4. Theo bài ra ta có: a, b a + b ⋮ d => p ⋮ d => d = 1 => a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. b ⋮ d Bài 14: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng? HƯỚNG DẪN: Gọi 3 số nguyên tố đó là a,b,c Ta có: abc =5(a+b+c) => abc chia hết cho 5, do a,b,c nguyên tố => chỉ có trường hợp 1 trong 3 số =5, giả sử là a =5 => bc = b+c +5 => (b-1)(c-1) = 6 {b-1 =1 => b=2; c-1 =6 => c=7 {b-1=2, c-1=3 => c=4 (loại) Vậy 3 số nguyên tố đó là 2, 5, 7 Bài 15: Số a4 + a2 + 1 có thể là một số nguyên tố hay không? HƯỚNG DẪN: Số a4 + a2 + 1 có thể là một số nguyên tố vì với a = 1 thì a4 + a2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 là số nguyên tố. SỐ CHÍNH PHƯƠNG d) Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
5. 10nn 1 10 1 = 4. .10n 8. 1 99 4.1022n 4.10 n 8.10 n 8 9 4.10 n 4.10 n 1 = 99 2 2.10n 1 = 3 Ta thấy: 2.10n + 1 = 200 01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n - 1 chữ số 0 => Z hay các số có dạng 44 488 89 là số chính phương. Bài 4: Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương. Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chia hết cho d. Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d. Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1. Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. d) DẠNG 2 : CHỨNG MINH MỘT SỐ KHONG PHẢI LA SỐ CHINH PHƯƠNG
6. Bài 6: Chứng minh số : n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương. n≡44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 ≡04 + 044 + 0444 + 04444 +3≡3 (mod 4) Vậy n=4k+3 (k∈N) nên n không là số chính phương (đpcm) Bài 8: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương. Ta có: 20032 = 4012009; 20042 = 4016016 mà 4012009 A không là số chính phương. Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011 Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương. a- 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1 Có 2N 3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k N) => 2N - 1 không là số chính phương. b- 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N chẵn.
7. Vậy ( n – 1)2 k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 k + n + 1 = 11 k = 6 k - n – 1 = 1 n = 4 b) Đặt n(n + 3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 (2n + 3)2 – 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1 2n + 3 – 2a = 1 a = 2 c) Đặt 13n + 3 = y2 (y N) 13(n - 1) = y2 – 16 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)
8. Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương Với n 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; ; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương. Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3 Bài 4: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương. Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m N ) Từ đó suy ra m2 - n2 = 2010 (m + n) (m – n) = 2010 Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn. (m + n) (m – n)  4 nhưng 2006 không chia hết cho 4 Điều giả sử sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương. Ta có 10 n 99 nên 21 2n + 1 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40
9. m2 – k2 = 1111 (m - k)(m + k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương. Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101 Do đó: m – k = 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị. Đặt abcd k 2 ta có ab cd 1 và k N, 32 k < 100 Suy ra : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) k + 10  101 hoặc k – 10  101 Mà (k – 10; 101) = 1 k + 10  101 Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b N, 1 a 9; 0 b 9 Ta có: n2 = = 11. a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) Nhận xét thấy 11 a + b 11 Mà 1 a 9; 0 b 9 nên 1 a + b 18 a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương Bằng phép thử với a = 1; 2; ; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn b = 4
10. Gọi số phải tìm là ab với a, b N, 1 a 9; 0 b 9 Theo giả thiết ta có: = (a + b)3 (10a +b)2 = (a + b)3 là một lập phương và a + b là một số chính phương Đặt = t3 (t N), a + b = 12 (1 N) Vì 10 ab 99 = 27 hoặc = 64 Nếu = 27 a + b = 9 là số chính phương Nếu = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại Vậy số cần tìm là ab = 27