Chuyên đề Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Hệ phương trình

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Hệ phương trình

1. - Không đặt điều kiện của ẩn phụ và ẩn phụ ( nếu có) - Kết luận sai ( giá trị của x, y viết ngược). - Không đối chiếu điều kiện. Bài tập vận dụng: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, phương pháp cộng. Bài 1: ( Đề thi vào 10 năm 95-96) Giải hệ phương trình sau: 2x y 1 1. x 2y 5 y 2 x 1 3 2. x 2y 5 Bài 2: ( Đề thi vào 10 của Bắc Ninh năm 01-02) Giải hệ phương trình sau: (x 5)(y 2) (x 2)(y 1) (x 4)(y 7) (x 3)(y 4) Bài 3: ( Đề thi vào 10 của Bắc Ninh năm 01-02) Giải hệ phương trình sau: 4x2 y2 4xy 4 2 2 x y 2(xy 8) 0 Bài 4: : ( Đề thi vào 10 của Bắc Ninh năm 06-07) Giải hệ phương trình sau: 2x y 7 x y 3 a, b, x y 2 x y 1 Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 3x 2y 10 2x y 3 2x 2y 9 3x 2y 7 a, b, c, d, 2 1 x y 6 2x 3y 4 2x 3y 3 x y 3 3 3 Bài 6: Giải hệ phương trình sau: 3x y 3 2x 5y 8 4x 3y 6 2x y 6 a, b, c, d, 2x y 7 2x 3y 0 2x y 4 3x 5y 22 Bài 7: Giải hệ phương trình sau: x 2y 6 0 3x y 1 2x y 7 x 4y 11 a, b, c, d, 5x 3y 5 0 9x 3y 3 3x 5y 22 0 5x 7y 1 6
2. Bài 4: Giải hệ phương trình sau: 1 1 1 1 1 1 8 1 2 x 1 y 2 x y x 2 y 1 a, b, c, 2 3 3 4 2 3 1 5 1 x 1 y 2 x y x 2 y 1 Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 1 1 2x y 2 2 x 1 y 1 1 2 x y 2 x y a, b, c, x 3y 2 2 x y 1 1 1 1 2 16 x 1 y 1 x y Bài 6: Giải hệ phương trình sau: 5 x 1 3 y 1 2 3 7 8 5x 3y 31 x 2y x 2y x y x y 5 a, b, x 2 y 3 c, 20 x 1 7 y 1 2 3 2 19 6 y 3 x 2 x 2y x 2y x y x y 5 1 1 4 15 7 9 x 1 3 y 2 2 x y 5 x y d, e, f, 1 1 1 4 9 2 x 1 5 y 2 15 35 x y 5 x y Bài 7: Giải hệ phương trình sau: 1 1 5 4 5 7 5 2 4,5 x y x y 8 2x 3y 3x y x y 2 x y 1 a, b, c, 1 1 3 3 5 3 2 21 4 x y x y 8 3x y 2x 3y x y 2 x y 1 Bài 8: Giải hệ phương trình sau: x 3 2y 5 2x 7 y 1 x y x 1 x y x 1 2xy a, b, 4x 1 3y 6 6x 1 2y 3 y x y 1 y x y 2 2xy Bài 9: Giải hệ phương trình sau: 1 1 1 1 1 3 x y x y x y a, b, 2 4 2 3 5 1 x y x y x y 8
3. Lời giải Vì hệ phương trình có nghiệm (x; y)= (1;2) thay x 1; y 2 vào hệ ta được ì ì ì ï a = 2 ï 2a+2b = 5 ï 2a + 2b = 5 ï í Û í Û í 1 Þ 3a + 4b = 8. ï (a- 1)1+(b + 2)2 = 6 îï a + 2b = 3 ï b = î îï 2 Bài tập vận dụng. ïì ax + by = 3 Bài 1: Tìm các giá trị của a và b để hệ phương trình íï có nghiệm là (3;- 2). îï 2ax- 3by = 36 Bài 2: Tìm giá trị của a và b : ì ï 3ax-(b + 1)y = 93 a, Để hệ phương trình í có nghiệm là x; y = 1;- 5 . ï ( ) ( ) îï bx+4ay = - 3 ì ï (a- 2)x+5by = 25 b, Để hệ phương trình íï có nghiệm là(x; y)= (3;- 1). ï 2ax- b- 2 y = 5 îï ( ) ïì mx-y = n Bài 3: Xác định hệ số m, n biết rằng hệ phương trình íï có nghiệm là (- 1; 3) îï nx+my = 1 Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. a.Các bước làm: Bước 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Bước 2: Tìm nghiện (x,y) theo m. Bước 3: Thay x,y vào biểu thức tìm m. Bước 4: Đối chiếu điều kiện ( nếu có) rồi kết luận. b. Ví dụ mx 4y 10 m Bài 1. [ Vận dụng] Cho hệ phương trình : x my 4 1) Giải hệ phương trình với m = 3 2) Tìm giá trị của m để hệ phương trình nhận 10
4. m 4 10 m 1 m 4 m 4 1 m m2 4 m 2 m 2 m 10 m 10 m 4m m 2 1 4 Vậy m=2 thì hệ phương trình có vô số nghiệm. m 4 4) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m 2 1 m Với m 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Xét hệ phương trình : mx 4y 10 m mx 4y 10 m m(4 my) 4y 10 m x my 4 x 4 my x 4 my 8 m x 4m m2 y 4y 10 m y(4 m2 ) 10 5m m 2 x 4 my x 4 my 5 y m 2 8 m 5 Vậy m 2thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) ; . m 2 m 2 8 m 10 Ta có: 1 m 2 m 2 Với m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên x Z m 2 ƯC(10;5) m 2 Ư(5) y Z Ta có bảng: m+2 -5 -1 1 5 m -7 -3 -1 3 KL tm tm tm tm Vậy m 7; 3; 1;3 thì hệ phương trình có nghiệm( x; y) nguyên. 12
5. Lời giải 2 1 a) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất m 2 4 m Vậy m 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Xét hệ phương trình : 2x y 8 y 8 2x y 8 2x 4x my 2m 18 4x m(8 2x) 2m 18 4x 2mx 18 6m 2m 2 y 8 2x y m 2 3m 9 x (m 2) 3m 9 m 2 x m 2 3m 9 2m 2 Với m 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=( ; ) m 2 m 2 Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất(x;y) thỏa mãn 2x-3y>0 3m 9 2m 2 6m 18 6m 6 2. 3. 0 0 m 2 m 2 m 2 m 2 24 0 m 2 0 m 2(tm) m 2 Vậy m 0. 3m 9 3 x 3 m 2 m 2 b. Ta có : 2m 2 6 y 2 m 2 m 2 Với m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) nguyên 3 m 2 m 2 U C (3, 6 ) m 2 U (3 ) 1; 3 6  m 2 14
6. Từ (1) ta có x m 2y . Thế vào (2) ta được 2 m 2y 5y 1 y 1 2m x m 2 1 2m 5m 2. Suy ra hệ có nghiệm duy nhất x; y 5m 2;1 2m Theo bài ra x và y là hai nghiệm của phương trình t 2 3m 1 t m4 9m 13 0 * Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình (*) ta được x y 3m 1 (II) 4 xy m 9m 13 Thay x=5m-2; y=1-2m vào (II) ta được 5m 2 1 2m 3m 1 4 5m 2 1 2m m 9m 13 0 0 4 2 m 10m 11 0 m4 10m2 11 0 m2 1 m2 11 0 m2 1 m 1 Thử lại, với m = 1 vào hệ phương trình (I) x 2y 1 2x 4y 2 x 3 2x 5y 1 2x 5y 1 y 1 2 t 1 Thay m=1 vào phương trình (*) ta được t 2t 3 0 t 1 t 3 0 t 3 x 3; y 1 là nghiệm của phương trình (*) m 1 thỏa mãn. Tương tự m= -1 thỏa mãn. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Bài 4. [Vận dụng cao] Tìm các giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình 3x 2y 3 2 có nghiệm duy nhất x0 ; y0 , đồng thời các giá trị x0 , m 1 x m m y 19m 11 y0 là những số nguyên? 16
7. x my 4 m Bài 5. [Vận dụng cao] Cho hệ phương trình ( m là tham số). Tìm mx y 1 giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y sao biểu thức x S đạt giá trị nhỏ nhất là y 4 Lời giải x 4 4 Xét m 0 ta có S . y 1 3 Xét m 0 ta có 4 2 x x my 4 m x my 4 m m 1 x 4 m2 1 . mx y 1 m2 x my m m2 4m 1 mx y 1 y m2 1 x 4 m2 4m 1 4 4 12 S 2 : 2 4 2 2 . y 4 m 1 m 1 3m 4m 3 2 5 5 3 m 3 3 12 2 Giá trị nhỏ nhất của S = . Dấu “=” xảy ra khi m . 5 3 CÁC LỖI THƯỜNG MẮC - Không tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất. - Khi tìm được tham số quên không đối chiếu điều kiện. Bài tập áp dụng: Bài 6. (Thi vào 10 Bắc Ninh năm: 96-97) x ay 1 Cho hệ phương trình : ( Với a là tham số) ax y 2 a. Giải hệ phương trình khi a=2. b. Chứng minh rằng hệ đã cho luôn có nghiệm. c. Xác định a để hệ phương trình có nghiệm dương. Bài 7. (Thi vào 10 Bắc Ninh năm: 97-98) 18
8. b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 - 2y2=1. Bài 12. (Thi vào 10 Bắc Ninh năm: 03-04) 2mx y 4 Cho hệ phương trình : ( I ) ( Với m là tham số) 2x my 2 a. Giải hệ phương trình với m=2 b. Tính các giá trị x;y theo m và từ đó tìm giá trị của m để S=x+y đạt giá trị lớn nhất. Bài 13. (Thi vào 10 THPT chuyên Bắc Ninh năm: 2016-2017) x my 1 Cho hệ phương trình : ( I ) ( Với m là tham số) x 2y 3 a. Giải hệ phương trình khi m=1 b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x và y là các số nguyên. Bài 14. (Thi vào 10 Bắc Ninh năm: 2016- 2017) x 2y m Cho hệ phương trình : ( I ) ( Với m là tham số) 2x 5y 1 1. Giải hệ phương trình khi m=0. 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x và y là hai nghiệm của phương trình t2- (3m-1)t+m4+9m-13=0 với t là tham số. mx 4y 10 m Bài 15. Cho hệ phương trình (m là tham số) x my 4 a) Giải hệ phương trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x 0, y 0 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương (m 1)x my 3m 1 Bài 16. Cho hệ phương trình : 2x y m 5 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. 20
9. mx 4y 9 Bài 23. Cho hệ phương trình : x my 8 a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm x my 9 Bài 24. Cho hệ phương trình : mx 3y 4 a) Giải hệ phương trình khi m = 3 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 28 x - 3y = - 3 m 2 3 3x my 9 Bài 25. Cho hệ phương trình mx 2y 16 a) Giải hệ phương trình khi m = 5 b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7. 22